AVL树

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上一篇所写的二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

也就是说，AVL树本质上是一颗二叉查找树。

对于一棵AVL树，要么是一棵空树，要么需要具有如下性质：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树的高度之差（平衡因子）的绝对值不超过1

AVL节点的定义

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template<class T>
struct AVLTreeNode{
	AVLTreeNode(const T& data)
		:_pLeft(nullptr)
		,_pRight(nullptr)
		,_pParent(nullptr)
		,_data(data)
		,_bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;
	AVLTreeNode<T>* _pRight;
	AVLTreeNode<T>* _pParent;
	T _data;
	int _bf;   //平衡因子
};

AVL节点的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入
过程可以分为两步：

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 更新平衡因子
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bool Insert(const T& data)
{
 // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
 // ...
 
 // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树
 // 的平衡性
 
 /*
 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
 1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
 2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
 
 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
 1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满
足
 AVL树的性质，插入成功
 2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，
此
 时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
 3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
 */
 while (pParent)
 {
 // 更新双亲的平衡因子
 if (pCur == pParent->_pLeft)
 pParent->_bf--;
 else
 pParent->_bf++;
 // 更新后检测双亲的平衡因子
 if (0 == pParent->_bf)
 break;
 else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
 {
 // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉
树
 // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
 pCur = pParent;
 pParent = pCur->_pParent;
 }
 else
 {
 // 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
 // 为根的树进行旋转处理
 if(2 == pParent->_bf)
 {
 // ...
 }
 else
 {
 // ...
 }
 }
 }
 return true;
}

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能会造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡
化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

  1. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

    R单旋

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    void RotateR(PNode pParent)
    	{
    		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
    		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
    		
    		pParent->_pLeft = pSubLR;
    		if(pSubLR)
    			pSubLR->_pParent = pParent;

    		pSubL->_pRight = pParent;
    		PNode pPParent = pParent->_pParent;
    		pParent->_pParent = pSubL;
    		pSubL->_pParent = pPParent;

    		if(nullptr == pPParent)
    			_pRoot = pSubL;
    		else
    		{
    			if(pParent == pPParent->_pLeft)
    				pPParent->_pLeft = pSubL;
    			else
    				pPParent->_pRight = pSubL;
    		}

    		pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
    	}

  1. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

    R旋

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    void RotateL(PNode pParent)
    	{
    		PNode pSubR = pParent->_pRight;
    		PNode pSubRL = pSubR->_pLeft;

    		pParent->_pRight = pSubRL;
    		if(pSubRL)
    			pSubRL->_pParent = pParent;

    		pSubR->_pLeft = pParent;
    		PNode pPParent = pParent->_pParent;
    		pParent->_pParent = pSubR;
    		pSubR->_pParent = pPParent;

    		if(nullptr == pPParent)
    			_pRoot = pSubR;
    		else
    		{
    			if(pParent == pPParent->_pLeft)
    				pPParent->_pLeft = pSubR;
    			else
    				pPParent->_pRight = pSubR;
    		}

    		pParent->_bf = pSubR->_bf = 0;
    	}

  1. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

    LR双旋

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    void RotateLR(PNode pParent)
    	{
    		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
    		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
    		int bf = pSubLR->_bf;

    		RotateL(pParent->_pLeft);
    		RotateR(pParent);

    		//更新平衡因子
    		if(1 == bf)
    		{
    			pSubL->_bf = -1;
    		}
    		else if(-1 == bf)
    		{
    			pParent->_bf = 1;
    		}
    	}
  1. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

RL旋转

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void RotateRL(PNode pParent)
	{
		PNode pSubR = pParent->_pRight;
		PNode pSubRL = pSubR->_pLeft;
		int bf = pSubRL->_bf;

		RotateR(pParent->_pRight);
		RotateL(pParent);

		if(1 == bf)
			pParent->_bf = -1;
		else if(-1 == bf)
			pSubR->_bf = 1;
	}

总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

  1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
    当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
    当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

  2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
    当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
    当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
    旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

    AVL树的验证

    AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

  3. 验证其为二叉搜索树
    如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

  4. 验证其为平衡树
    每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
    节点的平衡因子是否计算正确
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int _Height(PNode pRoot)
	{
		if(nullptr == pRoot)
			return 0;
		int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
		int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);

		return leftHeight>rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;
	}

bool _IsAVLTree(PNode pRoot)
	{
		if(nullptr == pRoot)
			return true;
		int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
		int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);

		if(abs(pRoot->_bf)>1 || rightHeight - leftHeight != pRoot->_bf)
			return false;
		return _IsAVLTree(pRoot->_pLeft) && _IsAVLTree(pRoot->_pRight);
	}

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证
查询时高效的时间复杂度，即 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：
插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，
但一个结构经常修改，就不太适合

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